Operators of higher order

Motivated by results on interactive proof systems we investigate the computational power of quantifiers applied to well-known complexity classes. In special, we are interested in existential, universal and probabilistic bounded error quantifiers ranging over words and sets of words, i.e. oracles if we think in a Turing machine model. In addition to the standard oracle access mechanism, we also consider quantifiers ranging over oracles to which access is restricted in a certain way. We first examine an 9-8-hierarchy over P using words quantifiers as well as two types of set quantifiers. This hierarchy of classes is called the analytic polynomial-time hierarchy. We show that each class of this hierarchy coincides with one of the classes p k and p k (k 0) of the (arithmetic) polynomial-time hierarchy, PSPACE, or one of the classes exp k and exp k (k 1) of the exponential-time alternation hierarchy and vice versa. We next consider a hierarchy which refines the analytic polynomial-time hierarchy by considering restrictions on the number of oracle queries, the so called bounded analytic polynomial-time hierarchy. We characterize classes of this hierarchy by well-known complexity classes. In particular, we show that each class from this hierarchy having a certain normal form coincides with one of the classes NP, coNP, PSPACE, exp k or exp k (k 1) and vice versa. All these characterizations remain valid if the queries are asked in a nonadaptive form, i.e. in “parallel”. We also study a hierarchy which can intuitively be interpreted as the analytic polynomial-time hierarchy defined over L instead of P, i.e. an 9-8-hierarchy over L using word quantifiers as well as two types of set quantifiers. This hierarchy is called the analytic logarithmic-space hierarchy. We show that every class of this hierarchy can be represented in a certain normal form and characterize such classes by well-known complexity classes. In particular, each class whose last quantifier is a word quantifier coincides with one of the classes L, p k or p k (k 1) and vice versa. Furthermore, we examine probabilistic bounded error quantifiers. For instance, using the restricted oracle access mechanism we characterize (one prover) interactive proof systems by an existential set quantifier and a probabilistic bounded error word quantifier applied to P, and show that a bounded error set quantifier applied to PSPACE can be eliminated without changing the class in question. Finally, we discuss the relativizability of the results. Zusammenfassung Angeregt durch die Resultate über interaktive Beweissysteme untersuchen wir Quantoren in Anwendung auf bereits bekannte Komplexitätsklassen hinsichtlich ihrer dadurch gegebenen Berechnungsmächtigkeit. Von besonderem Interesse sind dabei existentielle und universelle Quantoren sowie Quantoren mit begrenzter Fehlerwahrscheinlichkeit, die alle über Wörter oder Wortmengen (Orakel im Kontext der Turingmaschinen) quantifizieren. Außer in bezug auf den Standardmechanismus eines Orakelzugriffs werden auch Quantifizierungen über Orakel, für deren Zugriff gewisse Beschränkungen bestehen, betrachtet. Zuerst beschäftigen wir uns mit einer 9-8-Hierarchie über P, wobei sowohl Wortquantoren als auch zwei verschiedene Typen von Mengenquantoren verwendet werden. Die so entstehende Klassenhierarchie nennen wir die analytische Polynomialzeit-Hierarchie. Es zeigt sich, daß jede Klasse dieser Hierarchie mit einer der Klassen p k oder p k (k 1) der (arithmetischen) Polynomialzeit-Hierarchie, mit PSPACE oder mit einer der Klassen exp k oder exp k (k 1) der alternierenden Exponentialzeit-Hierarchie zusammenfällt. Auch die Umkehrung gilt; jede der aufgeführten Klassen läßt sich durch eine der Klassen aus der analytischen Polynomialzeit-Hierarchie ausdrücken. Als nächstes wird eine Hierarchie betrachtet, die die analytische Polynomialzeit-Hierarchie durch die Einbeziehung von Anzahlbegrenzungen der Orakelfragen verfeinert: die sogenannte beschränkte analytische Polynomialzeit-Hierarchie. Wir charakterisieren die Klassen dieser Hierarchie durch bekanntere Komplexitätsklassen, und zeigen insbesonders, daß jede Klasse der Hierarchie, die einer bestimmten Normalform genügt, einer der Klassen NP, coNP, PSPACE, exp k oder exp k (k 1) entspricht. Auch hier ist die Umkehrung der Aussage ebenfalls richtig. Darüber hinaus bleiben alle Charaktierisierungen gültig, wenn Orakelfragen ausschließlich nicht-adaptiv, also in gewissem Sinne parallel gestellt werden können. Wir studieren auch eine Hierarchie, die intuitiv als analytische Polynomialzeit-Hierarchie über L anstelle von P interpretiert werden kann, d.h. die 9-8-Hierarchie über L sowohl bezüglich der Wortquantoren als auch bezüglich der zwei Typen von Mengenquantoren. Diese Hierarchie wird die analytische Hierarchie über logarithmischem Raum genannt. Wir zeigen, daß jede Klasse dieser Hierarchie in eine bestimmte Normalform gebracht werden kann, und charakterisieren solche Klassen dann mit Hilfe bereits bekannter Komplexitätsklassen. Dabei stellt sich heraus, daß jede Klasse, deren letzter Quantor ein Wortquantor ist, mit L, p k oder p k (k 1) identisch ist, und umgekehrt. Weiterhin untersuchen wir Quantoren mit begrenzter Fehlerwahrscheinlichkeit. Beispielsweise ist die Klasse der mittels interaktiven Beweissystemen in Polynomialzeit entscheidbaren Mengen, die Klasse IP, im Kontext polynomieller Zeitressourcen durch einen Existenzquantor in Verbindung mit einem Quantor mit begrenzter Fehlerwahrscheinlichkeit ausdrückbar, wenn man den Mechanismus für die Orakelzugriffe einschränkt. Es zeigt sich, daß ein Mengenquantor mit begrenztem Fehler, angewendet auf PSPACE, eliminiert werden kann, ohne die Klasse zu verändern. Abschließend gehen wir auf die Relativierbarkeit der Resultate ein.